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33 Coulomb FunctionsVariables ρ,η

Β§33.7 Integral Representations

33.7.1 Fℓ⁑(Ξ·,ρ)=ρℓ+1⁒2ℓ⁒eiβ’Οβˆ’(π⁒η/2)|Γ⁑(β„“+1+i⁒η)|⁒∫01eβˆ’2⁒i⁒ρ⁒t⁒tβ„“+i⁒η⁒(1βˆ’t)β„“βˆ’i⁒η⁒dt,
33.7.2 Hβ„“βˆ’β‘(Ξ·,ρ)=eβˆ’iβ’Οβ’Οβˆ’β„“(2⁒ℓ+1)!⁒Cℓ⁑(Ξ·)⁒∫0∞eβˆ’t⁒tβ„“βˆ’i⁒η⁒(t+2⁒i⁒ρ)β„“+i⁒η⁒dt,
33.7.3 Hβ„“βˆ’β‘(Ξ·,ρ)=βˆ’i⁒eβˆ’Ο€β’Ξ·β’Οβ„“+1(2⁒ℓ+1)!⁒Cℓ⁑(Ξ·)⁒∫0∞(exp⁑(βˆ’i⁒(ρ⁒tanh⁑tβˆ’2⁒η⁒t))(cosh⁑t)2⁒ℓ+2+i⁒(1+t2)ℓ⁒exp⁑(βˆ’Οβ’t+2⁒η⁒arctan⁑t))⁒dt,
33.7.4 Hβ„“+⁑(Ξ·,ρ)=i⁒eβˆ’Ο€β’Ξ·β’Οβ„“+1(2⁒ℓ+1)!⁒Cℓ⁑(Ξ·)β’βˆ«βˆ’1βˆ’i⁒∞eβˆ’i⁒ρ⁒t⁒(1βˆ’t)β„“βˆ’i⁒η⁒(1+t)β„“+i⁒η⁒dt.

Noninteger powers in (33.7.1)–(33.7.4) and the arctangent assume their principal values (§§4.2(i), 4.2(iv), 4.23(ii)).