About the Project

Olver hypergeometric function

AdvancedHelp

(0.005 seconds)

1—10 of 69 matching pages

1: 15.1 Special Notation
2: 15.6 Integral Representations
โ–บ
15.6.1 ๐… โก ( a , b ; c ; z ) = 1 ฮ“ โก ( b ) โข ฮ“ โก ( c b ) โข 0 1 t b 1 โข ( 1 t ) c b 1 ( 1 z โข t ) a โข d t , | ph โก ( 1 z ) | < ฯ€ ; โก c > โก b > 0 .
โ–บ
15.6.2 ๐… โก ( a , b ; c ; z ) = ฮ“ โก ( 1 + b c ) 2 โข ฯ€ โข i โข ฮ“ โก ( b ) โข 0 ( 1 + ) t b 1 โข ( t 1 ) c b 1 ( 1 z โข t ) a โข d t , | ph โก ( 1 z ) | < ฯ€ ; c b 1 , 2 , 3 , , โก b > 0 .
โ–บ
15.6.6 ๐… โก ( a , b ; c ; z ) = 1 2 โข ฯ€ โข i โข ฮ“ โก ( a ) โข ฮ“ โก ( b ) โข i โข i โข ฮ“ โก ( a + t ) โข ฮ“ โก ( b + t ) โข ฮ“ โก ( t ) ฮ“ โก ( c + t ) โข ( z ) t โข d t , | ph โก ( z ) | < ฯ€ ; a , b 0 , 1 , 2 , .
โ–บ
15.6.7 ๐… โก ( a , b ; c ; z ) = 1 2 โข ฯ€ โข i โข ฮ“ โก ( a ) โข ฮ“ โก ( b ) โข ฮ“ โก ( c a ) โข ฮ“ โก ( c b ) โข i โข i โข ฮ“ โก ( a + t ) โข ฮ“ โก ( b + t ) โข ฮ“ โก ( c a b t ) โข ฮ“ โก ( t ) โข ( 1 z ) t โข d t , | ph โก ( 1 z ) | < ฯ€ ; a , b , c a , c b 0 , 1 , 2 , .
โ–บ
15.6.8 ๐… โก ( a , b ; c ; z ) = 1 ฮ“ โก ( c d ) โข 0 1 ๐… โก ( a , b ; d ; z โข t ) โข t d 1 โข ( 1 t ) c d 1 โข d t , | ph โก ( 1 z ) | < ฯ€ ; โก c > โก d > 0 .
3: 13.1 Special Notation
โ–บThe main functions treated in this chapter are the Kummer functions M โก ( a , b , z ) and U โก ( a , b , z ) , Olver’s function ๐Œ โก ( a , b , z ) , and the Whittaker functions M ฮบ , ฮผ โก ( z ) and W ฮบ , ฮผ โก ( z ) . …
4: 14.3 Definitions and Hypergeometric Representations
โ–บ โ–บis Olver’s hypergeometric function15.1). … โ–บ โ–บ
14.3.9 P ฮฝ ฮผ โก ( x ) = ( x 1 x + 1 ) ฮผ / 2 โข ๐… โก ( ฮฝ + 1 , ฮฝ ; ฮผ + 1 ; 1 2 1 2 โข x ) ,
โ–บ
14.3.15 P ฮฝ ฮผ โก ( x ) = 2 ฮผ โข ( x 2 1 ) ฮผ / 2 โข ๐… โก ( ฮผ ฮฝ , ฮฝ + ฮผ + 1 ; ฮผ + 1 ; 1 2 1 2 โข x ) ,
5: 15.7 Continued Fractions
โ–บ
15.7.1 ๐… โก ( a , b ; c ; z ) ๐… โก ( a , b + 1 ; c + 1 ; z ) = t 0 u 1 โข z t 1 u 2 โข z t 2 u 3 โข z t 3 โ‹ฏ ,
โ–บ โ–บ
6: 15.15 Sums
โ–บ
15.15.1 ๐… โก ( a , b c ; 1 z ) = ( 1 z 0 z ) a โข s = 0 ( a ) s s ! โข ๐… โก ( s , b c ; 1 z 0 ) โข ( 1 z z 0 ) s .
7: 15.14 Integrals
โ–บ
15.14.1 0 x s 1 โข ๐… โก ( a , b c ; x ) โข d x = ฮ“ โก ( s ) โข ฮ“ โก ( a s ) โข ฮ“ โก ( b s ) ฮ“ โก ( a ) โข ฮ“ โก ( b ) โข ฮ“ โก ( c s ) , min โก ( โก a , โก b ) > โก s > 0 .
8: 15.2 Definitions and Analytical Properties
โ–บ
15.2.2 ๐… โก ( a , b ; c ; z ) = s = 0 ( a ) s โข ( b ) s ฮ“ โก ( c + s ) โข s ! โข z s , | z | < 1 ,
โ–บ
15.2.3 ๐… โก ( a , b c ; x + i โข 0 ) ๐… โก ( a , b c ; x i โข 0 ) = 2 โข ฯ€ โข i ฮ“ โก ( a ) โข ฮ“ โก ( b ) โข ( x 1 ) c a b โข ๐… โก ( c a , c b c a b + 1 ; 1 x ) , x > 1 .
โ–บ
15.2.3_5 lim c n F โก ( a , b ; c ; z ) ฮ“ โก ( c ) = ๐… โก ( a , b ; n ; z ) = ( a ) n + 1 โข ( b ) n + 1 ( n + 1 ) ! โข z n + 1 โข F โก ( a + n + 1 , b + n + 1 ; n + 2 ; z ) , n = 0 , 1 , 2 , .
9: 13.10 Integrals
โ–บ
13.10.1 ๐Œ โก ( a , b , z ) โข d z = 1 a 1 โข ๐Œ โก ( a 1 , b 1 , z ) ,
โ–บ
13.10.3 0 e z โข t โข t b 1 โข ๐Œ โก ( a , c , k โข t ) โข d t = ฮ“ โก ( b ) โข z b โข ๐… 1 2 โก ( a , b ; c ; k / z ) , โก b > 0 , โก z > max โก ( โก k , 0 ) ,
โ–บ
13.10.5 0 e t โข t b 1 โข ๐Œ โก ( a , c , t ) โข d t = ฮ“ โก ( b ) โข ฮ“ โก ( c a b ) ฮ“ โก ( c a ) โข ฮ“ โก ( c b ) , โก ( c a ) > โก b > 0 ,
โ–บ
13.10.10 0 t ฮป 1 โข ๐Œ โก ( a , b , t ) โข d t = ฮ“ โก ( ฮป ) โข ฮ“ โก ( a ฮป ) ฮ“ โก ( a ) โข ฮ“ โก ( b ฮป ) , 0 < โก ฮป < โก a ,
โ–บ
13.10.14 0 e t โข t 1 2 โข ฮฝ โข ๐Œ โก ( a , b , t ) โข J ฮฝ โก ( 2 โข x โข t ) โข d t = x 1 2 โข ฮฝ โข e x ฮ“ โก ( b a ) โข U โก ( a , a b + ฮฝ + 2 , x ) , x > 0 , 1 < โก ฮฝ < 2 โข โก ( b a ) 1 2 ,
10: 13.4 Integral Representations
โ–บ
13.4.1 ๐Œ โก ( a , b , z ) = 1 ฮ“ โก ( a ) โข ฮ“ โก ( b a ) โข 0 1 e z โข t โข t a 1 โข ( 1 t ) b a 1 โข d t , โก b > โก a > 0 ,
โ–บ
13.4.2 ๐Œ โก ( a , b , z ) = 1 ฮ“ โก ( b c ) โข 0 1 ๐Œ โก ( a , c , z โข t ) โข t c 1 โข ( 1 t ) b c 1 โข d t , โก b > โก c > 0 ,
โ–บ
13.4.3 ๐Œ โก ( a , b , z ) = z 1 2 1 2 โข b ฮ“ โก ( a ) โข 0 e t โข t a 1 2 โข b 1 2 โข J b 1 โก ( 2 โข z โข t ) โข d t , โก a > 0 .
โ–บ
13.4.9 ๐Œ โก ( a , b , z ) = ฮ“ โก ( 1 + a b ) 2 โข ฯ€ โข i โข ฮ“ โก ( a ) โข 0 ( 1 + ) e z โข t โข t a 1 โข ( t 1 ) b a 1 โข d t , b a 1 , 2 , 3 , , โก a > 0 .
โ–บ
13.4.12 ๐Œ โก ( a , c , z ) = ฮ“ โก ( b ) 2 โข ฯ€ โข i โข z 1 b โข ( 0 + , 1 + ) e z โข t โข t b โข ๐… 1 2 โก ( a , b ; c ; 1 / t ) โข d t , b 0 , 1 , 2 , , | ph โก z | < 1 2 โข ฯ€ .