About the Project

q-beta function

AdvancedHelp

(0.004 seconds)

8 matching pages

1: 5.18 q -Gamma and q -Beta Functions
§5.18 q -Gamma and q -Beta Functions
โ–บ
§5.18(iii) q -Beta Function
โ–บ
5.18.11 B q โก ( a , b ) = ฮ“ q โก ( a ) โข ฮ“ q โก ( b ) ฮ“ q โก ( a + b ) .
โ–บ
5.18.12 B q โก ( a , b ) = 0 1 t a 1 โข ( t โข q ; q ) ( t โข q b ; q ) โข d q t , 0 < q < 1 , โก a > 0 , โก b > 0 .
2: 5.21 Methods of Computation
โ–บFor the computation of the q -gamma and q -beta functions see Gabutti and Allasia (2008).
3: Bibliography I
โ–บ
  • M. E. H. Ismail and D. R. Masson (1994) q -Hermite polynomials, biorthogonal rational functions, and q -beta integrals. Trans. Amer. Math. Soc. 346 (1), pp. 63–116.
  • 4: Bibliography
    โ–บ
  • W. A. Al-Salam and M. E. H. Ismail (1994) A q -beta integral on the unit circle and some biorthogonal rational functions. Proc. Amer. Math. Soc. 121 (2), pp. 553–561.
  • 5: Bibliography P
    โ–บ
  • E. Pairman (1919) Tables of Digamma and Trigamma Functions. In Tracts for Computers, No. 1, K. Pearson (Ed.),
  • โ–บ
  • R. B. Paris (2002c) Exponential asymptotics of the Mittag-Leffler function. Proc. Roy. Soc. London Ser. A 458, pp. 3041–3052.
  • โ–บ
  • P. I. Pastro (1985) Orthogonal polynomials and some q -beta integrals of Ramanujan. J. Math. Anal. Appl. 112 (2), pp. 517–540.
  • โ–บ
  • K. Pearson (Ed.) (1968) Tables of the Incomplete Beta-function. 2nd edition, Published for the Biometrika Trustees at the Cambridge University Press, Cambridge.
  • โ–บ
  • H. N. Phien (1990) A note on the computation of the incomplete beta function. Adv. Eng. Software 12 (1), pp. 39–44.
  • 6: 18.27 q -Hahn Class
    โ–บ
    18.27.12_5 lim q 1 P n ( ฮฑ , ฮฒ ) โก ( x ; c , d ; q ) = ( c + d 2 ) n โข P n ( ฮฑ , ฮฒ ) โก ( 2 โข x c + d c + d ) .
    7: 18.28 Askey–Wilson Class
    โ–บ
    18.28.13 C n โก ( cos โก ฮธ ; ฮฒ | q ) = โ„“ = 0 n ( ฮฒ ; q ) โ„“ โข ( ฮฒ ; q ) n โ„“ ( q ; q ) โ„“ โข ( q ; q ) n โ„“ โข e i โข ( n 2 โข โ„“ ) โข ฮธ = ( ฮฒ ; q ) n ( q ; q ) n โข e i โข n โข ฮธ โข ฯ• 1 2 โก ( q n , ฮฒ ฮฒ 1 โข q 1 n ; q , ฮฒ 1 โข q โข e 2 โข i โข ฮธ ) .
    โ–บ
    18.28.14 C n โก ( cos โก ฮธ ; ฮฒ | q ) = ( ฮฒ 2 ; q ) n ( q ; q ) n โข ฮฒ 1 2 โข n โข ฯ• 3 4 โก ( q n , ฮฒ 2 โข q n , ฮฒ 1 2 โข e i โข ฮธ , ฮฒ 1 2 โข e i โข ฮธ ฮฒ โข q 1 2 , ฮฒ , ฮฒ โข q 1 2 ; q , q ) .
    โ–บ
    18.28.15 1 2 โข ฯ€ โข 0 ฯ€ C n โก ( cos โก ฮธ ; ฮฒ | q ) โข C m โก ( cos โก ฮธ ; ฮฒ | q ) โข | ( e 2 โข i โข ฮธ ; q ) ( ฮฒ โข e 2 โข i โข ฮธ ; q ) | 2 โข d ฮธ = ( ฮฒ , ฮฒ โข q ; q ) ( ฮฒ 2 , q ; q ) โข ( 1 ฮฒ ) โข ( ฮฒ 2 ; q ) n ( 1 ฮฒ โข q n ) โข ( q ; q ) n โข ฮด n , m , 1 < ฮฒ < 1 .
    โ–บ
    18.28.19 R n โก ( x ) = R n โก ( x ; ฮฑ , ฮฒ , ฮณ , ฮด | q ) = โ„“ = 0 n q โ„“ โข ( q n , ฮฑ โข ฮฒ โข q n + 1 ; q ) โ„“ ( ฮฑ โข q , ฮฒ โข ฮด โข q , ฮณ โข q , q ; q ) โ„“ โข j = 0 โ„“ 1 ( 1 q j โข x + ฮณ โข ฮด โข q 2 โข j + 1 ) = ฯ• 3 4 โก ( q n , ฮฑ โข ฮฒ โข q n + 1 , q y , ฮณ โข ฮด โข q y + 1 ฮฑ โข q , ฮฒ โข ฮด โข q , ฮณ โข q ; q , q ) , ฮฑ โข q , ฮฒ โข ฮด โข q , or ฮณ โข q = q N ; n = 0 , 1 , , N .
    8: Errata
    โ–บ
  • Equation (18.27.4)
    18.27.4 y = 0 N Q n โข ( q y ) โข Q m โข ( q y ) โข [ N y ] q โข ( ฮฑ โข q ; q ) y โข ( ฮฒ โข q ; q ) N y ( ฮฑ โข q ) y = h n โข ฮด n , m , n , m = 0 , 1 , , N

    We changed the presentation of this equation. Previously the [ N y ] q โข ( ฮฑ โข q ; q ) y โข ( ฮฒ โข q ; q ) N y ( ฮฑ โข q ) y was presented as ( ฮฑ โข q , q N ; q ) y โข ( ฮฑ โข ฮฒ โข q ) y ( q , ฮฒ 1 โข q N ; q ) y .

  • โ–บ
  • Equations (31.3.10), (31.3.11)
    31.3.10 z ฮฑ โข H โข โ„“ โก ( 1 a , q a ฮฑ โข ( ฮฒ ฯต ) ฮฑ a โข ( ฮฒ ฮด ) ; ฮฑ , ฮฑ ฮณ + 1 , ฮฑ ฮฒ + 1 , ฮด ; 1 z )
    31.3.11 z ฮฒ โข H โข โ„“ โก ( 1 a , q a ฮฒ โข ( ฮฑ ฯต ) ฮฒ a โข ( ฮฑ ฮด ) ; ฮฒ , ฮฒ ฮณ + 1 , ฮฒ ฮฑ + 1 , ฮด ; 1 z )

    In both equations, the second entry in the H โข โ„“ has been corrected with an extra minus sign.

  • โ–บ
  • Equation (18.27.6)

    18.27.6 P n ( ฮฑ , ฮฒ ) โก ( x ; c , d ; q ) = c n โข q ( ฮฑ + 1 ) โข n โข ( q ฮฑ + 1 , q ฮฑ + 1 โข c 1 โข d ; q ) n ( q , q ; q ) n โข P n โก ( q ฮฑ + 1 โข c 1 โข x ; q ฮฑ , q ฮฒ , q ฮฑ โข c 1 โข d ; q )

    Originally the first argument to the big q -Jacobi polynomial on the right-hand side was written incorrectly as q ฮฑ + 1 โข c 1 โข d โข x .

    Reported 2017-09-27 by Tom Koornwinder.

  • โ–บ
  • Section 17.1

    The notation used for the q -Appell functions in Equations (17.4.5), (17.4.6),(17.4.7), (17.4.8), (17.11.1), (17.11.2) and (17.11.3) was updated to explicitly include the argument q , as used in Gasper and Rahman (2004).

  • โ–บ
  • Equation (17.13.3)
    17.13.3 0 t ฮฑ 1 โข ( t โข q ฮฑ + ฮฒ ; q ) ( t ; q ) โข d t = ฮ“ โก ( ฮฑ ) โข ฮ“ โก ( 1 ฮฑ ) โข ฮ“ q โก ( ฮฒ ) ฮ“ q โก ( 1 ฮฑ ) โข ฮ“ q โก ( ฮฑ + ฮฒ )

    Originally the differential was identified incorrectly as d q t ; the correct differential is d t .

    Reported 2011-04-08.