About the Project

bilateral hypergeometric function

AdvancedHelp

(0.001 seconds)

7 matching pages

1: 17.18 Methods of Computation
§17.18 Methods of Computation
2: 17.1 Special Notation
§17.1 Special Notation
โ–บThe main functions treated in this chapter are the basic hypergeometric (or q -hypergeometric) function ฯ• s r โก ( a 1 , a 2 , , a r ; b 1 , b 2 , , b s ; q , z ) , the bilateral basic hypergeometric (or bilateral q -hypergeometric) function ฯˆ s r โก ( a 1 , a 2 , , a r ; b 1 , b 2 , , b s ; q , z ) , and the q -analogs of the Appell functions ฮฆ ( 1 ) โก ( a ; b , b ; c ; q ; x , y ) , ฮฆ ( 2 ) โก ( a ; b , b ; c , c ; q ; x , y ) , ฮฆ ( 3 ) โก ( a , a ; b , b ; c ; q ; x , y ) , and ฮฆ ( 4 ) โก ( a , b ; c , c ; q ; x , y ) . …
3: 17.8 Special Cases of ฯˆ r r Functions
§17.8 Special Cases of ฯˆ r r Functions
โ–บ
Ramanujan’s ฯˆ 1 1 Summation
โ–บ
17.8.2 ฯˆ 1 1 โก ( a b ; q , z ) = ( q , b / a , a โข z , q / ( a โข z ) ; q ) ( b , q / a , z , b / ( a โข z ) ; q ) , | b / a | < | z | < 1 .
โ–บ
Bailey’s Bilateral Summations
โ–บFor similar formulas see Verma and Jain (1983).
4: 17.4 Basic Hypergeometric Functions
§17.4 Basic Hypergeometric Functions
โ–บ
§17.4(ii) ฯˆ s r Functions
โ–บ
17.4.3 ฯˆ s r โก ( a 1 , a 2 , , a r b 1 , b 2 , , b s ; q , z ) = ฯˆ s r โก ( a 1 , a 2 , , a r ; b 1 , b 2 , , b s ; q , z ) = n = ( a 1 , a 2 , , a r ; q ) n โข ( 1 ) ( s r ) โข n โข q ( s r ) โข ( n 2 ) โข z n ( b 1 , b 2 , , b s ; q ) n = n = 0 ( a 1 , a 2 , , a r ; q ) n โข ( 1 ) ( s r ) โข n โข q ( s r ) โข ( n 2 ) โข z n ( b 1 , b 2 , , b s ; q ) n + n = 1 ( q / b 1 , q / b 2 , , q / b s ; q ) n ( q / a 1 , q / a 2 , , q / a r ; q ) n โข ( b 1 โข b 2 โข โ‹ฏ โข b s a 1 โข a 2 โข โ‹ฏ โข a r โข z ) n .
โ–บ
5: 17.10 Transformations of ฯˆ r r Functions
§17.10 Transformations of ฯˆ r r Functions
โ–บ
17.10.1 ฯˆ 2 2 โก ( a , b c , d ; q , z ) = ( a โข z , d / a , c / b , d โข q / ( a โข b โข z ) ; q ) ( z , d , q / b , c โข d / ( a โข b โข z ) ; q ) โข ฯˆ 2 2 โก ( a , a โข b โข z / d a โข z , c ; q , d a ) ,
โ–บ
17.10.2 ฯˆ 2 2 โก ( a , b c , d ; q , z ) = ( a โข z , b โข z , c โข q / ( a โข b โข z ) , d โข q / ( a โข b โข z ) ; q ) ( q / a , q / b , c , d ; q ) โข ฯˆ 2 2 โก ( a โข b โข z / c , a โข b โข z / d a โข z , b โข z ; q , c โข d a โข b โข z ) .
โ–บ
17.10.3 ฯˆ 8 8 โก ( q โข a 1 2 , q โข a 1 2 , c , d , e , f , a โข q n , q n a 1 2 , a 1 2 , a โข q / c , a โข q / d , a โข q / e , a โข q / f , q n + 1 , a โข q n + 1 ; q , a 2 โข q 2 โข n + 2 c โข d โข e โข f ) = ( a โข q , q / a , a โข q / ( c โข d ) , a โข q / ( e โข f ) ; q ) n ( q / c , q / d , a โข q / e , a โข q / f ; q ) n โข ฯˆ 4 4 โก ( e , f , a โข q n + 1 / ( c โข d ) , q n a โข q / c , a โข q / d , q n + 1 , e โข f / ( a โข q n ) ; q , q ) ,
โ–บ
17.10.4 ฯˆ 2 2 โก ( e , f a โข q / c , a โข q / d ; q , a โข q e โข f ) = ( q / c , q / d , a โข q / e , a โข q / f ; q ) ( a โข q , q / a , a โข q / ( c โข d ) , a โข q / ( e โข f ) ; q ) โข n = ( 1 a โข q 2 โข n ) โข ( c , d , e , f ; q ) n ( 1 a ) โข ( a โข q / c , a โข q / d , a โข q / e , a โข q / f ; q ) n โข ( q โข a 3 c โข d โข e โข f ) n โข q n 2 .
6: 16.4 Argument Unity
โ–บ
§16.4(v) Bilateral Series
โ–บDenote, formally, the bilateral hypergeometric function โ–บ
16.4.16 H q p โก ( a 1 , , a p b 1 , , b q ; z ) = k = ( a 1 ) k โข โข ( a p ) k ( b 1 ) k โข โข ( b q ) k โข z k .
โ–บ
16.4.17 H 2 2 โก ( a , b c , d ; 1 ) = ฮ“ โก ( c ) โข ฮ“ โก ( d ) โข ฮ“ โก ( 1 a ) โข ฮ“ โก ( 1 b ) โข ฮ“ โก ( c + d a b 1 ) ฮ“ โก ( c a ) โข ฮ“ โก ( d a ) โข ฮ“ โก ( c b ) โข ฮ“ โก ( d b ) , โก ( c + d a b ) > 1 .
โ–บ
7: 15.4 Special Cases
โ–บ
§15.4(i) Elementary Functions
โ–บโ–บ
Chu–Vandermonde Identity
โ–บ
Dougall’s Bilateral Sum
โ–บ
§15.4(iii) Other Arguments