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1: Bibliography F
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  • 5: Bibliography K
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  • 6: Bibliography T
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  • 8: 19.2 Definitions
    Let s 2 ( t ) be a cubic or quartic polynomial in t with simple zeros, and let r ( s , t ) be a rational function of s and t containing at least one odd power of s . …Because s 2 is a polynomial, we have … Assume 1 sin 2 ϕ ( , 0 ] and 1 k 2 sin 2 ϕ ( , 0 ] , except that one of them may be 0, and 1 α 2 sin 2 ϕ { 0 } . …The integral for E ( ϕ , k ) is well defined if k 2 = sin 2 ϕ = 1 , and the Cauchy principal value (§1.4(v)) of Π ( ϕ , α 2 , k ) is taken if 1 α 2 sin 2 ϕ vanishes at an interior point of the integration path. … If 1 < k 1 / sin ϕ , then k c is pure imaginary. …
    9: Bibliography S
  • R. S. Scorer (1950) Numerical evaluation of integrals of the form I = x 1 x 2 f ( x ) e i ϕ ( x ) 𝑑 x and the tabulation of the function Gi ( z ) = ( 1 / π ) 0 sin ( u z + 1 3 u 3 ) 𝑑 u . Quart. J. Mech. Appl. Math. 3 (1), pp. 107–112.
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  • O. Szász (1950) On the relative extrema of ultraspherical polynomials. Boll. Un. Mat. Ital. (3) 5, pp. 125–127.
  • 10: 1.13 Differential Equations
    A domain in the complex plane is simply-connected if it has no “holes”; more precisely, if its complement in the extended plane { } is connected. … where z D , a simply-connected domain, and f ( z ) , g ( z ) are analytic in D , has an infinite number of analytic solutions in D . A solution becomes unique, for example, when w and d w / d z are prescribed at a point in D . … Assuming that u ( x ) satisfies un-mixed boundary conditions of the form … For a regular Sturm-Liouville system, equations (1.13.26) and (1.13.29) have: (i) identical eigenvalues, λ ; (ii) the corresponding (real) eigenfunctions, u ( x ) and w ( t ) , have the same number of zeros, also called nodes, for t ( 0 , c ) as for x ( a , b ) ; (iii) the eigenfunctions also satisfy the same type of boundary conditions, un-mixed or periodic, for both forms at the corresponding boundary points. …