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33 Coulomb FunctionsVariables ρ,η

§33.10 Limiting Forms for Large ρ or Large |η|

Contents
  1. §33.10(i) Large ρ
  2. Β§33.10(ii) Large Positive Ξ·
  3. Β§33.10(iii) Large Negative Ξ·

§33.10(i) Large ρ

As Οβ†’βˆž with Ξ· fixed,

33.10.1 Fℓ⁑(Ξ·,ρ) =sin⁑(θℓ⁑(Ξ·,ρ))+o⁑(1),
Gℓ⁑(Ξ·,ρ) =cos⁑(θℓ⁑(Ξ·,ρ))+o⁑(1),
33.10.2 Hℓ±⁑(Ξ·,ρ)∼exp⁑(Β±i⁒θℓ⁑(Ξ·,ρ)),

where θℓ⁑(Ξ·,ρ) is defined by (33.2.9).

Β§33.10(ii) Large Positive Ξ·

As Ξ·β†’βˆž with η⁒ρ fixed,

33.10.3 Fℓ⁑(Ξ·,ρ) ∼(2⁒ℓ+1)!⁒Cℓ⁑(Ξ·)(2⁒η)β„“+1⁒(2⁒η⁒ρ)1/2⁒I2⁒ℓ+1⁑((8⁒η⁒ρ)1/2),
Gℓ⁑(Ξ·,ρ) ∼2⁒(2⁒η)β„“(2⁒ℓ+1)!⁒Cℓ⁑(Ξ·)⁒(2⁒η⁒ρ)1/2⁒K2⁒ℓ+1⁑((8⁒η⁒ρ)1/2).

In particular, for β„“=0,

33.10.4 F0⁑(Ξ·,ρ) ∼eβˆ’Ο€β’Ξ·β’(π⁒ρ)1/2⁒I1⁑((8⁒η⁒ρ)1/2),
G0⁑(Ξ·,ρ) ∼2⁒eπ⁒η⁒(ρ/Ο€)1/2⁒K1⁑((8⁒η⁒ρ)1/2),
33.10.5 F0′⁑(Ξ·,ρ) ∼eβˆ’Ο€β’Ξ·β’(2⁒π⁒η)1/2⁒I0⁑((8⁒η⁒ρ)1/2),
G0′⁑(Ξ·,ρ) βˆΌβˆ’2⁒eπ⁒η⁒(2⁒η/Ο€)1/2⁒K0⁑((8⁒η⁒ρ)1/2).

Also,

33.10.6 Οƒ0⁑(Ξ·) =η⁒(lnβ‘Ξ·βˆ’1)+14⁒π+o⁑(1),
C0⁑(Ξ·) ∼(2⁒π⁒η)1/2⁒eβˆ’Ο€β’Ξ·.

Β§33.10(iii) Large Negative Ξ·

As Ξ·β†’βˆ’βˆž with η⁒ρ fixed,

33.10.7 Fℓ⁑(Ξ·,ρ) =(2⁒ℓ+1)!⁒Cℓ⁑(Ξ·)(βˆ’2⁒η)β„“+1⁒((βˆ’2⁒η⁒ρ)1/2⁒J2⁒ℓ+1⁑((βˆ’8⁒η⁒ρ)1/2)+o⁑(|Ξ·|1/4)),
Gℓ⁑(Ξ·,ρ) =βˆ’Ο€β’(βˆ’2⁒η)β„“(2⁒ℓ+1)!⁒Cℓ⁑(Ξ·)⁒((βˆ’2⁒η⁒ρ)1/2⁒Y2⁒ℓ+1⁑((βˆ’8⁒η⁒ρ)1/2)+o⁑(|Ξ·|1/4)).

In particular, for β„“=0,

33.10.8 F0⁑(Ξ·,ρ) =(π⁒ρ)1/2⁒J1⁑((βˆ’8⁒η⁒ρ)1/2)+o⁑(|Ξ·|βˆ’1/4),
G0⁑(Ξ·,ρ) =βˆ’(π⁒ρ)1/2⁒Y1⁑((βˆ’8⁒η⁒ρ)1/2)+o⁑(|Ξ·|βˆ’1/4).
33.10.9 F0′⁑(Ξ·,ρ) =(βˆ’2⁒π⁒η)1/2⁒J0⁑((βˆ’8⁒η⁒ρ)1/2)+o⁑(|Ξ·|1/4),
G0′⁑(Ξ·,ρ) =βˆ’(βˆ’2⁒π⁒η)1/2⁒Y0⁑((βˆ’8⁒η⁒ρ)1/2)+o⁑(|Ξ·|1/4).

Also,

33.10.10 Οƒ0⁑(Ξ·) =η⁒(ln⁑(βˆ’Ξ·)βˆ’1)βˆ’14⁒π+o⁑(1),
C0⁑(Ξ·) ∼(βˆ’2⁒π⁒η)1/2.