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17 q-Hypergeometric and Related FunctionsProperties

§17.8 Special Cases of ψrr Functions

Jacobi’s Triple Product

17.8.1 βˆ‘n=βˆ’βˆžβˆž(βˆ’z)n⁒qn⁒(nβˆ’1)/2=(q,z,q/z;q)∞;

compare (20.5.9).

Ramanujan’s ψ11 Summation

Quintuple Product Identity

17.8.3 βˆ‘n=βˆ’βˆžβˆž(βˆ’1)n⁒qn⁒(3⁒nβˆ’1)/2⁒z3⁒n⁒(1+z⁒qn)=(q,βˆ’z,βˆ’q/z;q)∞⁒(q⁒z2,q/z2;q2)∞.

Bailey’s Bilateral Summations

17.8.4 ψ22⁑(b,c;a⁒q/b,a⁒q/c;q,βˆ’a⁒q/(b⁒c)) =(a⁒q/(b⁒c);q)∞⁒(a⁒q2/b2,a⁒q2/c2,q2,a⁒q,q/a;q2)∞(a⁒q/b,a⁒q/c,q/b,q/c,βˆ’a⁒q/(b⁒c);q)∞,
17.8.5 ψ33⁑(b,c,dq/b,q/c,q/d;q,qb⁒c⁒d) =(q,q/(b⁒c),q/(b⁒d),q/(c⁒d);q)∞(q/b,q/c,q/d,q/(b⁒c⁒d);q)∞,
17.8.6 ψ44⁑(βˆ’q⁒a12,b,c,dβˆ’a12,a⁒q/b,a⁒q/c,a⁒q/d;q,q⁒a32b⁒c⁒d)=(a⁒q,a⁒q/(b⁒c),a⁒q/(b⁒d),a⁒q/(c⁒d),q⁒a12/b,q⁒a12/c,q⁒a12/d,q,q/a;q)∞(a⁒q/b,a⁒q/c,a⁒q/d,q/b,q/c,q/d,q⁒a12,q⁒aβˆ’12,q⁒a32/(b⁒c⁒d);q)∞,
17.8.7 ψ66⁑(q⁒a12,βˆ’q⁒a12,b,c,d,ea12,βˆ’a12,a⁒q/b,a⁒q/c,a⁒q/d,a⁒q/e;q,q⁒a2b⁒c⁒d⁒e)=(a⁒q,a⁒q/(b⁒c),a⁒q/(b⁒d),a⁒q/(b⁒e),a⁒q/(c⁒d),a⁒q/(c⁒e),a⁒q/(d⁒e),q,q/a;q)∞(a⁒q/b,a⁒q/c,a⁒q/d,a⁒q/e,q/b,q/c,q/d,q/e,q⁒a2/(b⁒c⁒d⁒e);q)∞.

Sum Related to (17.6.4)

17.8.8 ψ22⁑(b2,b2/cq,c⁒q;q2,c⁒q2/b2)=12⁒(q2,q⁒b2,q/b2,c⁒q/b2;q2)∞(c⁒q,c⁒q2/b2,q2/b2,c/b2;q2)∞⁒((c⁒q/b;q)∞(b⁒q;q)∞+(βˆ’c⁒q/b;q)∞(βˆ’b⁒q;q)∞),
|c⁒q2|<|b2|.

For similar formulas see Verma and Jain (1983).