22.11 Fourier and Hyperbolic Series22.13 Derivatives and Differential Equations

§22.12 Expansions in Other Trigonometric Series and Doubly-Infinite Partial Fractions: Eisenstein Series

22.12.5 2Kk\mathop{\mathrm{cd}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\frac{\pi}{\mathop{\sin\/}\nolimits\!\left(\pi(t+\frac{1}{2}-(n+\frac{1}{2})\tau)\right)}=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\left(\sum _{{m=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{m}}{t+\frac{1}{2}-m-(n+\frac{1}{2})\tau}\right),
22.12.6 -2iKkk^{{\prime}}\mathop{\mathrm{sd}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{n}\pi}{\mathop{\sin\/}\nolimits\!\left(\pi(t+\frac{1}{2}-(n+\frac{1}{2})\tau)\right)}=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\left(\sum _{{m=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{{m+n}}}{t+\frac{1}{2}-m-(n+\frac{1}{2})\tau}\right),
22.12.7 2iKk^{{\prime}}\mathop{\mathrm{nd}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\lim _{{N\to\infty}}\sum _{{n=-N}}^{N}(-1)^{n}\frac{\pi}{\mathop{\tan\/}\nolimits\!\left(\pi(t+\frac{1}{2}-(n+\frac{1}{2})\tau)\right)}=\lim _{{N\to\infty}}\sum _{{n=-N}}^{N}(-1)^{n}\lim _{{M\to\infty}}\left(\sum _{{m=-M}}^{M}\frac{1}{t+\frac{1}{2}-m-(n+\frac{1}{2})\tau}\right),
22.12.8 2K\mathop{\mathrm{dc}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\frac{\pi}{\mathop{\sin\/}\nolimits\!\left(\pi(t+\frac{1}{2}-n\tau)\right)}=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\left(\sum _{{m=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{m}}{t+\frac{1}{2}-m-n\tau}\right),
22.12.9 2Kk^{{\prime}}\mathop{\mathrm{nc}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{n}\pi}{\mathop{\sin\/}\nolimits\!\left(\pi(t+\frac{1}{2}-n\tau)\right)}=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\left(\sum _{{m=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{{m+n}}}{t+\frac{1}{2}-m-n\tau}\right),
22.12.10 -2Kk^{{\prime}}\mathop{\mathrm{sc}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\lim _{{N\to\infty}}\sum _{{n=-N}}^{N}(-1)^{n}\frac{\pi}{\mathop{\tan\/}\nolimits\!\left(\pi(t+\frac{1}{2}-n\tau)\right)}=\lim _{{N\to\infty}}\sum _{{n=-N}}^{N}(-1)^{n}\left(\lim _{{M\to\infty}}\sum _{{m=-M}}^{M}\frac{1}{t+\frac{1}{2}-m-n\tau}\right),
22.12.11 2K\mathop{\mathrm{ns}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\frac{\pi}{\mathop{\sin\/}\nolimits\!\left(\pi(t-n\tau)\right)}=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\left(\sum _{{m=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{m}}{t-m-n\tau}\right),
22.12.12 2K\mathop{\mathrm{ds}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{n}\pi}{\mathop{\sin\/}\nolimits\!\left(\pi(t-n\tau)\right)}=\sum _{{n=-\infty}}^{{\infty}}\left(\sum _{{m=-\infty}}^{{\infty}}\frac{(-1)^{{m+n}}}{t-m-n\tau}\right),
22.12.13 2K\mathop{\mathrm{cs}\/}\nolimits\left(2Kt,k\right)=\lim _{{N\to\infty}}\sum _{{n=-N}}^{N}(-1)^{n}\frac{\pi}{\mathop{\tan\/}\nolimits\!\left(\pi(t-n\tau)\right)}=\lim _{{N\to\infty}}\sum _{{n=-N}}^{N}(-1)^{n}\left(\lim _{{M\to\infty}}\sum _{{m=-M}}^{M}\frac{1}{t-m-n\tau}\right).