∫0∞ⅇ-s⁢t⁢θ3⁡((1+β)⁢π2⁢ℓ|ⅈ⁢π⁢tℓ2)⁢ⅆ⁡t=∫0∞ⅇ-s⁢t⁢θ4⁡(β⁢π2⁢ℓ|ⅈ⁢π⁢tℓ2)⁢ⅆ⁡t=ℓs⁢cosh⁡(β⁢s)⁢csch⁡(ℓ⁢s).